1955 AMC 12 Problema 43

Question

Los pares de valores de

x

y

y

que son soluciones comunes de las ecuaciones

y=(x+1)^2

y

xy+y=1

son:

The pairs of values of

x

and

y

that are the common solutions of the equations

y=(x+1)^2

and

xy+y=1

are:

3

pares reales

3

real pairs

4

pares reales

4

real pairs

4

pares imaginarios

4

imaginary pairs

2

pares reales y

2

pares imaginarios

2

real and

2

imaginary pairs

1

par real y

2

pares imaginarios

1

real and

2

imaginary pairs

Respuesta: E

Conceptos:simultaneous equations cube roots of unity complex solutions

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reescribe la segunda ecuación como

y(x+1)=1

Rewrite the second equation as

y(x+1)=1

Pista grande:

Sustituye

y=(x+1)^2

para obtener una cúbica en

x+1

Substitute

y=(x+1)^2

to obtain a cubic in

x+1

Solución:

La sustitución en

y(x+1)=1

da

(x+1)^3=1.

Las tres raíces cúbicas de

1

constan de una raíz real y dos no reales. Cada una determina exactamente un valor correspondiente

y=(x+1)^2.

Por lo tanto, hay un par real y dos pares imaginarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substitution into

y(x+1)=1

gives

(x+1)^3=1.

The three cube roots of

1

consist of one real root and two nonreal roots. Each determines exactly one corresponding value

y=(x+1)^2.

Therefore there is one real pair and two imaginary pairs.

Thus, the correct answer is E.

1955 AMC 12 Problema 43

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 43 en otros años