1955 AMC 12 Problema 42

Question

Si

a,

b,

y

c

son enteros positivos, los radicales

\sqrt{a+\dfrac bc}

y

a\sqrt{\dfrac bc}

son iguales si y solo si:

If

a,

b,

and

c

are positive integers, the radicals

\sqrt{a+\dfrac bc}

and

a\sqrt{\dfrac bc}

are equal when and only when:

a=b=c=1

a=b

y

c=a=1

a=b

and

c=a=1

c=\dfrac{b(a^2-1)}a

a=b

y

c

tiene cualquier valor

a=b

and

c

is any value

a=b

y

c=a-1

a=b

and

c=a-1

Ambos lados son positivos, así que eleva al cuadrado la igualdad

Both sides are positive, so square the equality

Multiplica la ecuación resultante por

c

y despeja

c

Multiply the resulting equation by

c

and isolate

c

Como todas las cantidades son positivas, elevar al cuadrado es reversible:

a+\frac bc=a^2\frac bc.

Al multiplicar por

c

se obtiene

ac+b=a^2b,

de modo que

c=\frac{b(a^2-1)}a.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because all quantities are positive, squaring is reversible:

a+\frac bc=a^2\frac bc.

Multiplying by

c

gives

ac+b=a^2b,

so

c=\frac{b(a^2-1)}a.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 42 en otros años