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1954 AMC 12 Problema 47

Intenta el Problema 47 del 1954 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1954 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

47.

En el punto medio del segmento AB‾\overline{AB}, que mide pp unidades, se levanta una perpendicular MR‾\overline{MR} de longitud qq unidades. Con centro en RR se traza un arco de radio igual a 12AB‾,\dfrac12\overline{AB}, que corta AB‾\overline{AB} en T.T. Entonces AT‾\overline{AT} y TB‾\overline{TB} son las raíces de:
At the midpoint of line segment AB‾\overline{AB} which is pp units long, a perpendicular MR‾\overline{MR} is erected with length qq units. An arc is described from RR with a radius equal to 12AB‾,\dfrac12\overline{AB}, meeting AB‾\overline{AB} at T.T. Then AT‾\overline{AT} and TB‾\overline{TB} are the roots of:
x2+px+q2=0x^2+px+q^2=0
x2−px+q2=0x^2-px+q^2=0
x2+px−q2=0x^2+px-q^2=0
x2−px−q2=0x^2-px-q^2=0
x2−px+q=0x^2-px+q=0
Respuesta: B
Conceptos:Teorema de PitágorasFórmulas de Vietacírculo
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La suma AT‾+TB‾\overline{AT}+\overline{TB} es pp
The sum AT‾+TB‾\overline{AT}+\overline{TB} is pp
Pista grande:
Usa RT=p2=AMRT=\frac{p}{2}=AM en el triángulo rectángulo RMTRMT para demostrar que AT‾⋅TB‾=q2\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2
Use RT=p2=AMRT=\frac{p}{2}=AM in right triangle RMTRMT to show AT‾⋅TB‾=q2\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2
Solución:
Sea MT=t.MT=t. Como AM=BM=RT=p2,AM=BM=RT=\frac{p}{2}, el teorema de Pitágoras da t2+q2=p24. t^2+q^2=\frac{p^2}{4}. Además, AT=p2+t,TB=p2−t. AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t. Su suma es p,p, y su producto es p24−t2=q2. \frac{p^2}{4}-t^2=q^2. Por lo tanto, son las raíces de x2−px+q2=0.x^2-px+q^2=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let MT=t.MT=t. Since AM=BM=RT=p2,AM=BM=RT=\frac{p}{2}, the Pythagorean theorem gives t2+q2=p24. t^2+q^2=\frac{p^2}{4}. Also, AT=p2+t,TB=p2−t. AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t. Their sum is p,p, and their product is p24−t2=q2. \frac{p^2}{4}-t^2=q^2. Therefore they are the roots of x2−px+q2=0.x^2-px+q^2=0.
Thus, the correct answer is B.
Problema 46#46
Examen completo
Problema 48#48

El Problema 47 en otros años

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