1953 AMC 12 Problema 48

Question

Si la base mayor de un trapecio isósceles es igual a una diagonal y la base menor es igual a la altura, entonces la razón entre la base menor y la base mayor es:

If the larger base of an isosceles trapezoid equals a diagonal and the smaller base equals the altitude, then the ratio of the smaller base to the larger base is:

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

\frac{2}{5}

Respuesta: D

Conceptos:isosceles trapezoid Pythagorean theorem ratio

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La proyección horizontal de una diagonal es la mitad de la suma de las dos bases

A diagonal’s horizontal projection is half the sum of the two bases

Pista grande:

Escala la base mayor a

1

y supón que tanto la base menor como la altura son

r

Scale the larger base to

1

, and let the smaller base and altitude both be

r

Solución:

Sea

1

la base mayor, y sean

r

tanto la base menor como la altura. Una diagonal tiene proyección horizontal

\frac{1+r}{2}

y longitud

1.

Por lo tanto,

1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2.

Esto se simplifica a

\begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned}

La razón positiva es

r=\frac{3}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the larger base be

1,

and let the smaller base and altitude both be

r.

A diagonal has horizontal projection

\frac{1+r}{2}

and length

1.

Thus

1=r^2+\left(\frac{1+r}{2}\right)^2.

This simplifies to

\begin{aligned} 5r^2+2r-3&=(5r-3)(r+1)\\ &=0. \end{aligned}

The positive ratio is

r=\frac{3}{5}.

Thus, the correct answer is D.