1953 AMC 12 Problema 45

Question

Las longitudes de dos segmentos son

a

unidades y

b

unidades, respectivamente. Entonces la relación correcta entre ellas es:

The lengths of two line segments are

a

units and

b

units respectively. Then the correct relation between them is:

\dfrac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}\lt\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{ab}

\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}

Comienza con el cuadrado no negativo

(a-b)^2

Start with the nonnegative square

(a-b)^2

La igualdad debe seguir siendo posible cuando los dos segmentos tienen la misma longitud

Equality must remain possible when the two segment lengths are equal

Como

(a-b)^2\ge0,

se tiene

(a+b)^2\ge4ab.

Ambos lados son no negativos, así que

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.

La igualdad ocurre cuando

a=b.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

(a-b)^2\ge0,

we have

(a+b)^2\ge4ab.

Both sides are nonnegative, so

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.

Equality occurs when

a=b.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 45 en otros años