2023 AMC 8 第 16 题

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16.

字母 PP、QQ、RR 按下图所示的规律填入一个 20×2020 \times 20 表格。完成后的表格中会出现多少个 PP、QQ 和 RR?
The letters P,P, Q,Q, and RR are entered into a 20×2020 \times 20 table according to the pattern shown below. How many PPs, QQs, and RRs will appear in the completed table?
132132 个 PP,134134 个 QQ,134134 个 RR
132132 PPs, 134134 QQs, 134134 RRs
133133 个 PP,133133 个 QQ,134134 个 RR
133133 PPs, 133133 QQs, 134134 RRs
133133 个 PP,134134 个 QQ,133133 个 RR
133133 PPs, 134134 QQs, 133133 RRs
134134 个 PP,132132 个 QQ,134134 个 RR
134134 PPs, 132132 QQs, 134134 RRs
134134 个 PP,133133 个 QQ,133133 个 RR
134134 PPs, 133133 QQs, 133133 RRs
答案:C
知识点:找规律模运算
小提示:
每行每列的规律每 33 个格子重复一次
The pattern repeats every 33 entries along each row and column
大提示:
因为 20=3⋅6+220=3\cdot6+2,每行中有两个字母会多出现一次
Since 20=3⋅6+220=3\cdot6+2, two letters get one extra appearance in each line
视频讲解:
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文字解答:
因为 20=3⋅6+220 = 3 \cdot 6 + 2,每列底部的 22 个字母会比第三个字母多出现一次。
所以每列中第三个字母出现 66 次,另外 22 个字母各出现 77 次。
在 2020 列中,有 77 列的 PP 只出现 66 次,其余 1313 列中则出现 77 次。RR 的情况相同。
因此 PP 和 RR 都各出现 7⋅6+13⋅7=42+91=1337\cdot6+13\cdot7=42+91=133 次。
因此 QQ 出现了 20⋅20−2⋅133=400−266=134\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*} 次。
所以正确答案是 C。
Since 20=3⋅6+2,20 = 3 \cdot 6 + 2, the bottom 22 letters in each column will occur one more time than the third letter.
This means that the third letter in each column will occur 66 times, whereas the other 22 will appear 77 times.
Across the 2020 columns, PP is the letter that appears 66 times in 77 columns and appears 77 times in the other 1313 columns. The same is true of R.R.
Thus PP and RR each appear 7⋅6+13⋅7=42+91=1337\cdot6+13\cdot7=42+91=133 times.
QQ will therefore appear 20⋅20−2⋅133=400−266=134\begin{align*} 20 \cdot 20 - 2 \cdot 133 &=400 - 266 \\ &= 134 \end{align*} times.
Thus, C is the correct answer.
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