2002 AMC 8 第 16 题

Question

如图，在一个

3-4-5

直角三角形的各边上分别构造等腰直角三角形。大写字母表示每个三角形的面积。下列哪一项正确？

Right isosceles triangles are constructed on the sides of a

3-4-5

right triangle, as shown. A capital letter represents the area of each triangle. Which one of the following is true?

X + Z = W + Y

W + X = Z

3X + 4Y = 5Z

X + W = \dfrac{1}{2}(Y + Z)

X + Y = Z

每个等腰直角三角形的面积是其所在边长平方的一半。

Each right isosceles triangle has area half the square of the side it is built on.

计算建在边长

3

、

4

和

5

上的面积。

Compute the areas on the sides

3,

4,

and

5.

对于建在边长为

s

的边上的等腰直角三角形，两条直角边长为

s

，所以面积为

\frac{s^2}{2}

。

\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5 \end{aligned}\text{。}

这些值满足

X+Y=Z

，而其他列出的等式不成立。

所以正确答案是 E。

For a right isosceles triangle built on a side of length

s,

the two legs have length

s,

so its area is

\frac{s^2}{2}.

\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}

These values satisfy

X+Y=Z,

and the other listed equations do not.

Thus, E is the correct answer.

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