Question

在圆 $O$ 中， $G$ 是直径 $\overline{AB}$ 上的动点。作 $\overline{AA'}$ 垂直于 $\overline{AB}$ ，且长度等于 $AG$ 。作 $\overline{BB'}$ 垂直于 $\overline{AB}$ ，它与 $\overline{AA'}$ 位于直径 $\overline{AB}$ 的同一侧，且长度等于 $BG$ 。设 $O'$ 为 $\overline{A'B'}$ 的中点。当 $G$ 从 $A$ 移动到 $B$ 时，点 $O'$ ：

In circle $O,$ $G$ is a moving point on diameter $\overline{AB}.$ $\overline{AA'}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB}$ and equal to $AG.$ $\overline{BB'}$ is drawn perpendicular to $\overline{AB},$ on the same side of diameter $\overline{AB}$ as $\overline{AA'},$ and equal to $BG.$ Let $O'$ be the midpoint of $\overline{A'B'}.$ Then, as $G$ moves from $A$ to $B,$ point $O':$

沿一条平行于 $AB$ 的直线移动

moves on a straight line parallel to $AB$

保持不动

remains stationary

沿一条垂直于 $AB$ 的直线移动

moves on a straight line perpendicular to $AB$

沿一个与已知圆相交的小圆移动

moves in a small circle intersecting the given circle

沿一条既不是圆也不是直线的轨迹移动

follows a path which is neither a circle nor a straight line

答案：B

知识点：坐标几何中点不变量

难度评级：1790

小提示：

令 $A=(0,0)$ 、 $B=(L,0)$ 、 $G=(g,0)$

Place $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ and $G=(g,0)$

大提示：

写出 $A'$ 与 $B'$ 的坐标，再取其平均值

Write coordinates for $A'$ and $B'$ , then average them

解答：

令 $A=(0,0)$ 、 $B=(L,0)$ ，且 $G=(g,0)$ 。在同一侧作垂线，得到 $A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g)\text{。}$ 它们的中点为 $\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right) \end{aligned}\text{，}$ 与 $g$ 无关。因此 $O'$ 保持不动。

因此，正确答案是 B。

Let $A=(0,0),$ $B=(L,0),$ and $G=(g,0).$ The perpendicular constructions on the same side give $A'=(0,g),\qquad B'=(L,L-g).$ Their midpoint is $\begin{aligned} O' &=\left(\frac L2,\frac{g+L-g}{2}\right)\\ &=\left(\frac L2,\frac L2\right), \end{aligned}$ independent of $g.$ Thus $O'$ remains stationary.

Therefore, the correct answer is B.

1957 AMC 12 第 50 题

答案：B

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 50 题