1953 AMC 12 第 47 题

Question

若

x

大于零，则正确的关系为：

If

x

is greater than zero, then the correct relationship is:

\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}

\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}

\log(1+x)\gt x

\log(1+x)\lt x

以上答案均不正确

none of these

当

x\gt0

时，将

1+x

与指数函数比较

Compare

1+x

with an exponential function for

x\gt0

对常用对数而言，标准不等式

\ln(1+x)\lt x

甚至更强

The standard inequality

\ln(1+x)\lt x

is even stronger for common logarithms

当

x\gt0

时，由标准指数不等式可得

1+x\lt e^x

。两边取自然对数，得到

\ln(1+x)\lt x\text{。}

若

\log

表示常用对数，则

\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x) \end{aligned}\text{，}

因而选项中的同一不等式成立。

因此，正确答案是 D。

For

x\gt0,

the standard exponential inequality gives

1+x\lt e^x.

Taking natural logarithms yields

\ln(1+x)\lt x.

If

\log

denotes the common logarithm, then

\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}

so the same listed inequality holds.

Thus, the correct answer is D.

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