Question

在 $5$ 只蜗牛的比赛中，最多只有一次并列，但这次并列可以包含任意数量的蜗牛。例如，比赛结果可能是 Dazzler 第一；Abby、Cyrus 和 Elroy 并列第二；Bruna 第五。共有多少种不同的比赛结果？

In a race among $5$ snails, there is at most one tie, but that tie can involve any number of snails. For example, the result of the race might be that Dazzler is first; Abby, Cyrus, and Elroy are tied for second; and Bruna is fifth. How many different results of the race are possible?

$180$

$361$

$420$

$431$

$720$

答案：D

知识点：排列组合分类讨论

难度评级：1730

解答：

如果没有并列， $5$ 只蜗牛有 $5! = 120$ 种名次顺序。现在允许恰好一组大小为 $k$ 的并列，其中 $2 \le k \le 5$ 。先用 $\binom{5}{k}$ 选出这一组，再把它看作一个块，连同其余单个蜗牛一共 $6 - k$ 个块，排列方式为 $(6 - k)!$ 。对 $k$ 求和，得 $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311$ 。加上无并列的 $120 + 311 = 431$ 种。因此正确答案是 D。

If nobody ties, the $5$ snails finish in $5! = 120$ orders. Now allow exactly one tied group of size $k$ with $2 \le k \le 5.$ Choose the group in $\binom{5}{k}$ ways, then treat it as one block, leaving $6 - k$ blocks to arrange in $(6 - k)!$ ways. Summing over $k:$ $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311.$ Add the no-tie count: $120 + 311 = 431.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 17 题

答案：D

难度评级：1730

解答：

其他年份的第 17 题