Question

长方体 $\mathcal{P}$ 的三条不同边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。 $\mathcal{P}$ 的所有 $12$ 条边长之和为 $13$ ， $\mathcal{P}$ 的所有 $6$ 个面的面积之和为 $\frac{11}{2}$ ， $\mathcal{P}$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ 。连接 $\mathcal{P}$ 两个顶点的最长内部对角线长度是多少？

A rectangular box $\mathcal{P}$ has distinct edge lengths $a,$ $b,$ and $c.$ The sum of the lengths of all $12$ edges of $\mathcal{P}$ is $13,$ the sum of the areas of all $6$ faces of $\mathcal{P}$ is $\frac{11}{2},$ and the volume of $\mathcal{P}$ is $\frac{1}{2}.$ What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $\mathcal{P}?$

$2$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

答案：D

知识点：长方体代数变形勾股定理

难度评级：1590

解答：

$12$ 条边给出 $4(a + b + c) = 13$ ，所以 $a + b + c = \frac{13}{4}$ 。 $6$ 个面给出 $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2}$ ，所以 $ab + bc + ca = \frac{11}{4}$ 。空间对角线长度为所以正确答案是 D。 $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$

The $12$ edges give $4(a + b + c) = 13,$ so $a + b + c = \frac{13}{4}.$ The $6$ faces give $2(ab + bc + ca) = \frac{11}{2},$ so $ab + bc + ca = \frac{11}{4}.$ The space diagonal is $\begin{gathered} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ = \small \sqrt{(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)} \\ = \sqrt{\frac{169}{16} - \frac{11}{2}} \\ = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}. \end{gathered}$ Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 10B 第 17 题

答案：D

难度评级：1590

解答：

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