Question

不同直线 $\ell$ 和 $m$ 位于 $xy$ 平面内，并在原点相交。点 $P(-1, 4)$ 关于直线 $\ell$ 反射到点 $P'$ ，再将 $P'$ 关于直线 $m$ 反射到点 $P''$ 。直线 $\ell$ 的方程为 $5x - y = 0$ ，且 $P''$ 的坐标为 $(4,1)$ 。求直线 $m$ 的方程。

Distinct lines $\ell$ and $m$ lie in the $xy$ -plane. They intersect at the origin. Point $P(-1, 4)$ is reflected about line $\ell$ to point $P',$ and then $P'$ is reflected about line $m$ to point $P''.$ The equation of line $\ell$ is $5x - y = 0,$ and the coordinates of $P''$ are $(4,1).$ What is the equation of line $m?$

$5x+2y=0$

$3x+2y=0$

$x-3y=0$

$2x-3y=0$

$5x-3y=0$

答案：D

知识点：变换斜率三角恒等式

难度评级：2150

解答：

两次关于过原点直线的反射，等价于旋转两倍的有向夹角，从第一条反射线转到第二条反射线。

点 $(-1,4)$ 被送到 $(4,1)$ ，这是顺时针 $90^\circ$ 的旋转。因此直线 $m$ 是将第一条反射线顺时针旋转 $45^\circ$ 后得到的，而第一条反射线就是 $\ell$ 。

直线 $\ell$ 的斜率为 $5$ 。若 $\theta_m=\theta_\ell-45^\circ$ ，则 $\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.$

所以直线 $m$ 为 $y=\frac23x$ ，即 $2x-3y=0$ 。

所以答案是 D。

Two reflections across lines through the origin are equivalent to a rotation by twice the angle from the first reflecting line to the second.

The point $(-1,4)$ is sent to $(4,1),$ which is a $90^\circ$ clockwise rotation. Therefore line $m$ is $45^\circ$ clockwise from line $\ell.$

The slope of $\ell$ is $5.$ If $\theta_m=\theta_\ell-45^\circ,$ then $\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.$

Thus line $m$ is $y=\frac23x,$ or $2x-3y=0.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall 第 17 题

答案：D

难度评级：2150

解答：

其他年份的第 17 题