2021 AMC 10B Fall 第 17 题

Question

不同直线

\ell

和

m

位于

xy

平面内，并在原点相交。点

P(-1, 4)

关于直线

\ell

反射到点

P'

，再将

P'

关于直线

m

反射到点

P''

。直线

\ell

的方程为

5x - y = 0

，且

P''

的坐标为

(4,1)

。求直线

m

的方程。

Distinct lines

\ell

and

m

lie in the

xy

-plane. They intersect at the origin. Point

P(-1, 4)

is reflected about line

\ell

to point

P',

and then

P'

is reflected about line

m

to point

P''.

The equation of line

\ell

is

5x - y = 0,

and the coordinates of

P''

are

(4,1).

What is the equation of line

m?

5x+2y=0

3x+2y=0

x-3y=0

2x-3y=0

5x-3y=0

答案：D

知识点：变换斜率三角恒等式

难度评级：2150

小提示：

两次关于相交直线的反射等价于一次旋转。

Two reflections through intersecting lines equal a rotation

大提示：

比较从

(-1,4)

到

(4,1)

的角度变化。

Compare the angle change from

(-1,4)

to

(4,1)

解答：

两次关于过原点直线的反射，等价于旋转两倍的有向夹角，从第一条反射线转到第二条反射线。

点

(-1,4)

被送到

(4,1)

，这是顺时针

90^\circ

的旋转。因此直线

m

是将第一条反射线顺时针旋转

45^\circ

后得到的，而第一条反射线就是

\ell

。

直线

\ell

的斜率为

5

。若

\theta_m=\theta_\ell-45^\circ

，则

\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23\text{。}

所以直线

m

为

y=\frac23x

，即

2x-3y=0

。

所以答案是 D。

Two reflections across lines through the origin are equivalent to a rotation by twice the angle from the first reflecting line to the second.

The point

(-1,4)

is sent to

(4,1),

which is a

90^\circ

clockwise rotation. Therefore line

m

is

45^\circ

clockwise from line

\ell.

The slope of

\ell

is

5.

If

\theta_m=\theta_\ell-45^\circ,

then

\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.

Thus line

m

is

y=\frac23x,

or

2x-3y=0.

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall 第 17 题

答案：D

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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