2021 AMC 10A Fall 第 14 题

Question

有多少个实数有序对

(x,y)

满足方程组

\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1 \end{aligned}\text{。}

How many ordered pairs

(x,y)

of real numbers satisfy the following system of equations?

\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}

1

2

3

5

7

答案：D

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1540

小提示：

第二个方程给出

|x|+|y|=3

或

5

。

The second equation gives

|x|+|y|=3

or

5

大提示：

用

y=3-\frac{x^2}{3}

，并按

x,y

的符号范围检查。

Use

y=3-\frac{x^2}{3}

and check the sign ranges for

x,y

解答：

令

t=|x|

。第二个方程给出

t+|y|=3

或

5

，而第一个方程给出

y=3-\frac{t^2}{3}

。

若

y\ge0

，则

0\le t\le3

。对于

t+y=3

，代入可得

t-\frac{t^2}{3}=0

，所以

t=0

或

3

。这些值给出

x=0,3,-3

，共有三个点。对于

t+y=5

，代入可得

t^2-3t+6=0

，它没有实根。

若

y<0

，则

t>3

。方程

t-y=3

给出

t^2+3t-18=0

，其唯一非负根是被排除的边界值

t=3

。方程

t-y=5

给出

t^2+3t-24=0

，它恰有一个正根

t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3

。这个根按

x

的两种符号给出两个点。

有序对总数为

3+2=5

。

所以正确答案是 D。

Put

t=|x|.

The second equation gives

t+|y|=3

or

5,

while the first gives

y=3-\frac{t^2}{3}.

If

y\ge0,

then

0\le t\le3.

For

t+y=3,

substitution gives

t-\frac{t^2}{3}=0,

so

t=0

or

3.

These yield

x=0,3,-3,

for three points. For

t+y=5,

substitution gives

t^2-3t+6=0,

which has no real root.

If

y<0,

then

t>3.

The equation

t-y=3

gives

t^2+3t-18=0,

whose only nonnegative root is the excluded boundary value

t=3.

The equation

t-y=5

gives

t^2+3t-24=0,

with exactly one positive root

t=\frac{-3+\sqrt{105}}2>3.

It yields two points, one for each sign of

x.

The total number of ordered pairs is

3+2=5.

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 14 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

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