2019 AMC 10A 第 7 题

Question

两条斜率分别为

\frac{1}{2}

和

2

的直线相交于

(2, 2)

。这两条直线与直线

x + y = 10

围成的三角形面积是多少？

Two lines with slopes

\frac{1}{2}

and

2

intersect at

(2, 2).

What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line

x + y = 10?

4

4\sqrt{2}

6

8

6\sqrt{2}

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1280

小提示：

求三条直线两两的交点。

Find all three pairwise intersections of the lines

大提示：

对得到的三角形使用距离公式或鞋带公式。

Use the distance or shoelace formula for the resulting triangle

解答：

过

(2,2)

的两条直线的方程为

\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2 \end{aligned}\text{。}

它们与

x+y=10

的交点分别是

(6,4)

和

(4,6)

。

因此三角形的三个顶点是

(2,2),(6,4)

和

(4,6)

。连接后两个顶点的线段长为

2\sqrt2

，它的中点是

(5,5)

，而从

(2,2)

到这个中点的距离为

3\sqrt2

。

因此面积为

\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6\text{。}

所以正确答案是 C。

The two lines through

(2,2)

have equations

\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}

Their intersections with

x+y=10

are

(6,4)

and

(4,6)

, respectively.

Thus the vertices are

(2,2),(6,4),

and

(4,6)

. The segment joining the last two points has length

2\sqrt2

, its midpoint is

(5,5)

, and the distance from

(2,2)

to that midpoint is

3\sqrt2

.

The area is therefore

\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 7 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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