Question

两条斜率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 的直线相交于 $(2, 2)$ 。这两条直线与直线 $x + y = 10$ 围成的三角形面积是多少？

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1280

解答：

先求两条直线的方程。用斜截式可知它们形如 $(2,2)$ 。 $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

对于第一条直线， $x+y=10$ ，所以 $(6,4)$ $(4,6)$

类似地，第二条直线有 $(2,2),(6,4)$ ，所以 $(4,6)$ $2\sqrt2$ $(5,5)$ $(2,2)$ $3\sqrt2$

两条直线分别为和。把改写为。代入第一条直线得因此三角形的三个顶点为和。注意这些顶点形成等腰三角形；用距离公式可得三边长为和。底边中点为，再次使用距离公式可得高为。所以正确答案是 C。 $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$

The two lines through $(2,2)$ have equations $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Their intersections with $x+y=10$ are $(6,4)$ and $(4,6)$ , respectively.

Thus the vertices are $(2,2),(6,4),$ and $(4,6)$ . The segment joining the last two points has length $2\sqrt2$ , its midpoint is $(5,5)$ , and the distance from $(2,2)$ to that midpoint is $3\sqrt2$ .

The area is therefore $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 7 题

答案：C

难度评级：1280

解答：

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