2017 AMC 10B 第 14 题

Question

从

1\leq N \leq 2020

的整数中随机选一个整数

N

。

N^{16}

除以

5

的余数为

1

的概率是多少？

An integer

N

is selected at random in the range

1\leq N \leq 2020

. What is the probability that the remainder when

N^{16}

is divided by

5

is

1?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{4}{5}

1

答案：D

知识点：费马小定理模幂运算基本概率

难度评级：1370

小提示：

模

5

时，只需要看

N

是否能被

5

整除。

Modulo

5

, only whether

N

is divisible by

5

matters

大提示：

使用费马小定理，或直接检查模

5

的剩余类。

Use Fermat’s little theorem or check residue classes modulo

5

解答：

根据费马小定理，只要

N

不能被

5

整除，就有

N^4\equiv1\pmod5

。因此

N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5\text{。}

5

的倍数共有

\frac{2020}{5}=404

个，所以

N

的可取值共有

2020-404=1616

个。

5

的倍数满足

N^{16}\equiv0\pmod5

，所以其余的值都不符合要求。因此所求概率为

\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45\text{。}

所以正确答案是 D。

By Fermat’s Little Theorem,

N^4\equiv1\pmod5

whenever

N

is not divisible by

5.

Therefore,

N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.

There are

\frac{2020}{5}=404

multiples of

5,

so there are

2020-404=1616

allowable values of

N.

A multiple of

5

has

N^{16}\equiv0\pmod5,

so no other values work. Thus the probability is

\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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