Question

从 $1\leq N \leq 2020$ 的整数中随机选一个整数 $N$ 。 $N^{16}$ 除以 $5$ 的余数为 $1$ 的概率是多少？

An integer $N$ is selected at random in the range $1\leq N \leq 2020$ . What is the probability that the remainder when $N^{16}$ is divided by $5$ is $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

答案：D

知识点：费马小定理模幂运算基本概率

难度评级：1370

解答：

根据费马小定理，若 $N^4\equiv1\pmod5$ 与 $N$ 互质，则。因此，所以条件是与 $5$ 互质。 $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

由于 $5$ 是素数，只要 $2020/5=404$ 不是 $2020-404=1616$ 的倍数就互质。共有 $N$ 个的倍数，所以有个不是的倍数。

所有 $5$ 的倍数取 $N^{16}\equiv0\pmod5$ 次方后，除以的余数为，所以不计入。因此恰有个（共个）数符合条件，概率为。 $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

所以正确答案是 D。

By Fermat's Little Theorem, $N^4\equiv1\pmod5$ whenever $N$ is not divisible by $5.$ Therefore, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

There are $2020/5=404$ multiples of $5,$ so there are $2020-404=1616$ allowable values of $N.$

A multiple of $5$ has $N^{16}\equiv0\pmod5,$ so no other values work. Thus the probability is $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B 第 14 题

答案：D

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 14 题