2014 AMC 10B 第 17 题

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17.

10^{1002} - 4^{501}

的因数中，最大的

2

的幂是多少？

What is the greatest power of

2

that is a factor of

10^{1002} - 4^{501}?

2^{1002}

2^{1003}

2^{1004}

2^{1005}

2^{1006}

答案：D

知识点：2的幂因式分解平方差

难度评级：1660

小提示：

先提取

2^{1002}

。

Factor out

2^{1002}

大提示：

判断

5^{1002}-1

中含有的精确

2

的幂。

Determine the exact power of

2

in

5^{1002}-1

解答：

先提取明显的

2

的幂：

10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)

。

因为

5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)

，且

501

为奇数，所以

5^{501}-1

可被

4

整除但不能被

8

整除，而

5^{501}+1

可被

2

整除但不能被

4

整除。

因此

5^{1002}-1

正好贡献

2^3

，整个表达式可被

2^{1005}

整除，但不能被

2^{1006}

整除。

所以正确答案是 D。

Factor out the obvious power of

2

:

10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)

.

Since

5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)

, and

501

is odd,

5^{501}-1

is divisible by

4

but not by

8

, while

5^{501}+1

is divisible by

2

but not by

4

.

Thus

5^{1002}-1

contributes exactly

2^3

, so the whole expression is divisible by

2^{1005}

but not

2^{1006}

.

Thus, the correct answer is D .