Question

$10^{1002} - 4^{501}$ 的因数中，最大的 $2$ 的幂是多少？

What is the greatest power of $2$ that is a factor of $10^{1002} - 4^{501}?$

$2^{1002}$

$2^{1003}$

$2^{1004}$

$2^{1005}$

$2^{1006}$

答案：D

知识点：2的幂因式分解平方差

难度评级：1660

解答：

先提取明显的 $2$ 的幂： $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ 。

因为 $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ ，且 $501$ 为奇数，所以 $5^{501}-1$ 可被 $4$ 整除但不能被 $8$ 整除，而 $5^{501}+1$ 可被 $2$ 整除但不能被 $4$ 整除。

因此 $5^{1002}-1$ 正好贡献 $2^3$ ，整个表达式可被 $2^{1005}$ 整除，但不能被 $2^{1006}$ 整除。

所以正确答案是 D。

Factor out the obvious power of $2$ : $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ .

Since $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ , and $501$ is odd, $5^{501}-1$ is divisible by $4$ but not by $8$ , while $5^{501}+1$ is divisible by $2$ but not by $4$ .

Thus $5^{1002}-1$ contributes exactly $2^3$ , so the whole expression is divisible by $2^{1005}$ but not $2^{1006}$ .

Thus, the correct answer is D .

2014 AMC 10B 第 17 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 17 题