2003 AMC 10A 第 14 题

Question

设

n

是最大的整数，正好是

3

个不同质数

d

、

e

、

10d + e

的乘积，其中

d

和

e

是一位数字。求

n

的各位数字之和。

Let

n

be the largest integer that is the product of exactly

3

distinct prime numbers,

d,

e,

and

10d + e,

where

d

and

e

are single digits. What is the sum of the digits of

n?

12

15

18

21

24

答案：A

知识点：质数数字系统列举

难度评级：1500

小提示：

一位质数为

2

、

3

、

5

、

7

，并且

10d + e

也必须是质数。

The single-digit primes are

2,

3,

5,

7,

and

10d + e

must also be prime

大提示：

按

d

从大到小检验候选数对，舍去使

10d+e

为合数的数对。

Test candidate pairs in descending order of

d,

discarding any pair for which

10d+e

is composite

解答：

d

和

e

是集合

\{2,3,5,7\}

中两个不同的元素，而且

10d+e

也必须是质数。

从最大的十位数字开始。若

d=7

，取

e=5

或

e=2

分别得到合数

75

和

72

，而取

e=3

得到质数

73

。于是

n=7\cdot3\cdot73=1533

。

若

d=5

，取

e=7

或

e=2

分别得到合数

57

和

52

，而取

e=3

只能得到

5\cdot3\cdot53=795

。所有

d\le3

的情况都不超过

3\cdot7\cdot37=777

。所以

1533

是最大的有效值。

它的各位数字之和为

1 + 5 + 3 + 3 = 12

。

所以正确答案是 A。

Both

d

and

e

are distinct members of

\{2,3,5,7\},

and

10d+e

must also be prime.

Start with the largest possible tens digit. For

d=7,

the choices

e=5

and

e=2

give the composite numbers

75

and

72,

while

e=3

gives the prime

73.

This produces

n=7\cdot3\cdot73=1533.

For

d=5,

the choices

e=7

and

e=2

give the composite numbers

57

and

52,

while

e=3

gives only

5\cdot3\cdot53=795.

Every case with

d\le3

is at most

3\cdot7\cdot37=777.

Hence

1533

is the largest valid value.

The sum of its digits is

1 + 5 + 3 + 3 = 12.

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 10A 第 14 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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