2002 AMC 10B 第 14 题

Question

数

25^{64} \cdot 64^{25}

是某个正整数

N

的平方。在十进制表示中，

N

的各位数字之和是多少？

The number

25^{64} \cdot 64^{25}

is the square of a positive integer

N.

In decimal representation, what is the sum of the digits of

N?

7

14

21

28

35

答案：B

知识点：指数数字

难度评级：1420

小提示：

将所有数写成

2

和

5

的幂后开平方。

Take the square root by writing everything as powers of

2

and

5

大提示：

N = 5^{64}\cdot 2^{75} = 10^{64}\cdot 2^{11}

，所以只需看

2^{11}

的数字。

N = 5^{64}\cdot 2^{75} = 10^{64}\cdot 2^{11}

; only the digits of

2^{11}

matter

解答：

因为

25 = 5^2

、

64 = 2^6

，所以

25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150}

，从而

N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}\text{。}

写成

2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11}

，可得

N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048

。

因此

N

是

2048

后接

64

个零，数字和为

2 + 0 + 4 + 8 = 14

。

所以正确答案是 B。

Since

25 = 5^2

and

64 = 2^6,

we have

25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},

so

N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.

Writing

2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},

we get

N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.

So

N

is

2048

followed by

64

zeros, and its digit sum is

2 + 0 + 4 + 8 = 14.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B 第 14 题

答案：B

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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