2002 AMC 10A 第 14 题

Question

二次方程

x^2-63x+k=0

的两个根都是质数。

k

可能有多少个取值？

Both roots of the quadratic equation

x^2-63x+k=0

are prime numbers. The number of possible values of

k

is

0

1

2

4

多于四个

more than four

答案：B

知识点：韦达定理质数奇偶性

难度评级：1310

小提示：

两个根的和为

63

，乘积为

k

。

The roots sum to

63

and multiply to

k

大提示：

两个质数的和为奇数，说明其中一个必须是

2

。

An odd sum of two primes forces one of them to be

2

解答：

设两个质数根为

p

、

q

，则

p+q=63

，

pq=k

。因为

63

是奇数，其中一个质数必须是

2

，从而另一个是

61

，它也是质数。

因此

k=2\cdot 61=122

，所以只有这一个可能取值。

所以正确答案是 B。

If the roots are primes

p

and

q,

then

p+q=63

and

pq=k.

Because

63

is odd, one prime must be

2,

making the other

61,

which is prime.

So

k=2\cdot 61=122

is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10A 第 14 题

答案：B

难度评级：1310

小提示：

大提示：

解答：

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