The number (2)/(\log_4 2000^6) + (3)/(\log_5 2000^6) can be written as (m)/(n), where m and n are relatively prime positive integers. Find m + n.

2000 AIME II Problem 1 — Solution

2000 AIME II Problem 1

Attempt Problem 1 of the 2000 AIME II below, then check your answer against the professionally curated solution from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2000 AIME II solutions, or check the answer key.

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The number $\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Answer

Answer: 7

Concepts:logarithm

Difficulty rating: 1890

Solution:

Since $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,$ the two terms equal $2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16$ and $3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.$ Their sum is $\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}$

Since $\gcd(1, 6) = 1,$ the answer is $m + n = 1 + 6 = 7.$

Full Exam

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