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1958 AMC 12 Problema 47

Intenta el Problema 47 del 1958 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1958 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

47.

ABCDABCD es un rectángulo y PP es cualquier punto de AB‾.\overline{AB}. Se tiene PS⊥BD,PS\perp BD, PR⊥AC,PR\perp AC, AF⊥BDAF\perp BD y PQ⊥AF.PQ\perp AF. Entonces PR+PSPR+PS es igual a:
ABCDABCD is a rectangle (see the accompanying diagram) with PP any point on AB‾.\overline{AB}. PS⊥BDPS\perp BD and PR⊥AC.PR\perp AC. AF⊥BDAF\perp BD and PQ⊥AF.PQ\perp AF. Then PR+PSPR+PS is equal to:
PQPQ
AEAE
PT+ATPT+AT
AFAF
EFEF
Respuesta: D
Conceptos:rectángulorectas paralelassemejanza
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
Como PQ∥BDPQ\parallel BD y PS∥AF,PS\parallel AF, identifica el pequeño paralelogramo junto a FF y SS
Because PQ∥BDPQ\parallel BD and PS∥AF,PS\parallel AF, identify the small parallelogram near FF and SS
Pista grande:
Usa T=PQ∩ACT=PQ\cap AC para comparar los triángulos rectángulos PTRPTR y ATQATQ
Use the intersection T=PQ∩ACT=PQ\cap AC to compare the right triangles PTRPTR and ATQATQ
Solución:
Como AF⊥BDAF\perp BD y PQ⊥AF,PQ\perp AF, PQ∥BD.PQ\parallel BD. Además, PS⊥BD,PS\perp BD, de modo que PS∥AF.PS\parallel AF. Así, QPSFQPSF es un rectángulo y PS=QF. PS=QF. Sea T=PQ∩AC.T=PQ\cap AC. Las diagonales de un rectángulo forman ángulos iguales con AB,AB, por lo que ∠PAT=∠APT\angle PAT=\angle APT y AT=PT.AT=PT. Los triángulos rectángulos ATQATQ y PTRPTR son semejantes por el ángulo en T.T. Como sus hipotenusas ATAT y PTPT son iguales, AQ=PR.AQ=PR. Por tanto, PR+PS=AQ+QF=AF. PR+PS=AQ+QF=AF.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since AF⊥BDAF\perp BD and PQ⊥AF,PQ\perp AF, we have PQ∥BD.PQ\parallel BD. Also PS⊥BD,PS\perp BD, so PS∥AF.PS\parallel AF. Thus quadrilateral QPSFQPSF is a rectangle, and PS=QF. PS=QF. Let T=PQ∩AC.T=PQ\cap AC. The diagonals of a rectangle make equal angles with side AB,AB, so ∠PAT=∠APT,\angle PAT=\angle APT, giving AT=PT.AT=PT. The right triangles ATQATQ and PTRPTR are similar because they share the angle at T.T. Since their hypotenuses ATAT and PTPT are equal, AQ=PR.AQ=PR. Therefore PR+PS=AQ+QF=AF. PR+PS=AQ+QF=AF.
Thus, the correct answer is D.
Problema 46#46
Examen completo
Problema 48#48

El Problema 47 en otros años

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