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1956 AMC 12 Problema 50

Intenta el Problema 50 del 1956 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1956 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

50.

En el triángulo ABC,ABC, CA=CB.CA=CB. Sobre CBCB se construye el cuadrado BCDEBCDE hacia el exterior del triángulo. Si xx es el número de grados del ángulo DAB,DAB, entonces
In triangle ABC,ABC, CA=CB.CA=CB. On CBCB square BCDEBCDE is constructed away from the triangle. If xx is the number of degrees in angle DAB,DAB, then
xx depende del triángulo ABCABC
xx depends upon triangle ABCABC
xx es independiente del triángulo
xx is independent of the triangle
xx puede ser igual al ángulo CADCAD
xx may equal angle CADCAD
xx nunca puede ser igual al ángulo CABCAB
xx can never equal angle CABCAB
xx es mayor que 45∘45^\circ pero menor que 90∘90^\circ
xx is greater than 45∘45^\circ but less than 90∘90^\circ
Respuesta: B
Conceptos:triángulo isóscelessquare constructiongeometría analítica
Nivel de dificultad: 2070
Pista pequeña:
Escala CA=CBCA=CB a 1,1, y coloca C=(0,0),C=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), A=(cos⁡θ,sin⁡θ)A=(\cos\theta,\sin\theta)
Scale CA=CBCA=CB to 1,1, and place C=(0,0),C=(0,0), B=(1,0),B=(1,0), A=(cos⁡θ,sin⁡θ)A=(\cos\theta,\sin\theta)
Pista grande:
Como el cuadrado está fuera del triángulo, toma D=(0,−1)D=(0,-1) y compara los vectores AB→\overrightarrow{AB} y AD→\overrightarrow{AD}
Because the square is outside the triangle, take D=(0,−1)D=(0,-1) and compare vectors AB→\overrightarrow{AB} and AD→\overrightarrow{AD}
Solución:
Escalamos los lados iguales a 11 y colocamos C=(0,0),B=(1,0),A=(cos⁡θ,sin⁡θ). \begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned} Como el cuadrado BCDEBCDE se construye hacia el exterior del triángulo, D=(0,−1).D=(0,-1). Sea c=cos⁡θc=\cos\theta y s=sin⁡θ.s=\sin\theta. Entonces AB→=(1−c,−s),AD→=(−c,−1−s). \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned} Su producto punto es 1+s−c,1+s-c, mientras que el valor absoluto de su producto cruzado bidimensional también es 1+s−c.1+s-c. Por lo tanto, tan⁡∠DAB=1, \tan\angle DAB=1, de modo que ∠DAB=45∘,\angle DAB=45^\circ, independientemente de θ\theta y, por tanto, de la forma del triángulo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Scale the equal sides to 11 and place C=(0,0),B=(1,0),A=(cos⁡θ,sin⁡θ). \begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned} Since square BCDEBCDE is constructed away from the triangle, D=(0,−1).D=(0,-1). Put c=cos⁡θc=\cos\theta and s=sin⁡θ.s=\sin\theta. Then AB→=(1−c,−s),AD→=(−c,−1−s). \begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned} Their dot product is 1+s−c,1+s-c, while the absolute value of their two-dimensional cross product is also 1+s−c.1+s-c. Therefore tan⁡∠DAB=1, \tan\angle DAB=1, so ∠DAB=45∘,\angle DAB=45^\circ, independent of θ\theta and hence independent of the triangle’s shape.
Thus, the correct answer is B.
Problema 49#49
Examen completo

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