1955 AMC 12 Problema 47

Question

Las expresiones

a+bc

y

(a+b)(a+c)

son:

The expressions

a+bc

and

(a+b)(a+c)

are:

siempre iguales

always equal

nunca iguales

never equal

iguales cuando

a+b+c=1

equal when

a+b+c=1

iguales cuando

a+b+c=0

equal when

a+b+c=0

iguales solamente cuando

a=b=c=0

equal only when

a=b=c=0

Desarrolla

(a+b)(a+c)

Expand

(a+b)(a+c)

Resta

a+bc

y factoriza la diferencia

Subtract

a+bc

and factor the difference

La diferencia es

\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned}

En particular, siempre que

a+b+c=1,

esta diferencia es cero y las expresiones son iguales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The difference is

\begin{aligned} &(a+b)(a+c)-(a+bc)\\ &\qquad=a^2+ab+ac-a\\ &\qquad=a(a+b+c-1). \end{aligned}

In particular, whenever

a+b+c=1,

this difference is zero and the expressions are equal.

Thus, the correct answer is C.

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