1953 AMC 12 Problema 47

Question

Si

x

es mayor que cero, entonces la relación correcta es:

If

x

is greater than zero, then the correct relationship is:

\log(1+x)=\dfrac{x}{1+x}

\log(1+x)\lt\dfrac{x}{1+x}

\log(1+x)\gt x

\log(1+x)\lt x

ninguna de las anteriores

none of these

Compara

1+x

con una función exponencial para

x\gt0

Compare

1+x

with an exponential function for

x\gt0

La desigualdad estándar

\ln(1+x)\lt x

es aún más fuerte para los logaritmos comunes

The standard inequality

\ln(1+x)\lt x

is even stronger for common logarithms

Para

x\gt0,

la desigualdad exponencial estándar da

1+x\lt e^x.

Al tomar logaritmos naturales se obtiene

\ln(1+x)\lt x.

Si

\log

denota el logaritmo común, entonces

\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}

por lo que también se cumple la desigualdad indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

x\gt0,

the standard exponential inequality gives

1+x\lt e^x.

Taking natural logarithms yields

\ln(1+x)\lt x.

If

\log

denotes the common logarithm, then

\begin{aligned} \log(1+x)&=\frac{\ln(1+x)}{\ln10}\\ &\lt\ln(1+x), \end{aligned}

so the same listed inequality holds.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 47 en otros años