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1950 AMC 12 Problema 41

Intenta el Problema 41 del 1950 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1950 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

41.

El valor mínimo de la función ax2+bx+cax^2+bx+c, con a>0,a>0, es:
The least value of the function ax2+bx+cax^2+bx+c with a>0a>0 is:
−ba-\dfrac ba
−b2a-\dfrac{b}{2a}
b2−4acb^2-4ac
4ac−b24a\dfrac{4ac-b^2}{4a}
Ninguno de estos
None of these
Respuesta: D
Conceptos:completar el cuadradocuadráticaoptimización
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Completa el cuadrado en ax2+bx+cax^2+bx+c
Complete the square in ax2+bx+cax^2+bx+c
Pista grande:
Como a>0,a>0, el término cuadrado alcanza su mínimo cuando es igual a cero
Since a>0,a>0, the squared term is minimized when it equals zero
Solución:
Al completar el cuadrado se obtiene ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a. \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} Como a>0,a>0, el término cuadrado tiene mínimo 0.0. Así, el valor mínimo es c−b24a=4ac−b24a. c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Completing the square gives ax2+bx+c=a(x+b2a)2+c−b24a. \begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\\ &\quad+c-\frac{b^2}{4a}. \end{aligned} Because a>0,a>0, the squared term has minimum 0.0. The least value is therefore c−b24a=4ac−b24a. c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}.
Thus, the correct answer is D.
Problema 40#40
Examen completo
Problema 42#42

El Problema 41 en otros años

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