Question

在三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 将边 $\overline{AC}$ 分成 $AD:DC=1:2$ 。设 $E$ 是 $\overline{BD}$ 的中点， $F$ 是直线 $BC$ 与直线 $AE$ 的交点。已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $360$ ， $\triangle EBF$ 的面积是多少？

In triangle $ABC,$ point $D$ divides side $\overline{AC}$ so that $AD:DC=1:2.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{BD}$ and let $F$ be the point of intersection of line $BC$ and line $AE.$ Given that the area of $\triangle ABC$ is $360,$ what is the area of $\triangle EBF?$

$24$

$30$

$32$

$36$

$40$

答案：B

知识点：面积比三角形面积

难度评级：1840

视频讲解：

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文字解答：

因为 $AD:DC=1:2$ ，三角形 $ABD$ 与 $DBC$ 的面积比也是 $1:2$ 。所以 $[ABD]=120$ ， $[DBC]=240$ 。

因为 $E$ 是 $BD$ 的中点，三角形 $ABE$ 和 $AED$ 的面积各为 $60$ 。设 $x=[EBF]$ 。又因为 $BE=ED$ ，且两个三角形的第三个顶点都在直线 $AF$ 上，所以 $[DEF]=x$ 。

线段 $DF$ 分割 $\triangle DBC$ ，所以 $[DFC]=240-2x$ 。另外， $\triangle ADF$ 和 $\triangle DFC$ 的底边 $AD$ 与 $DC$ 在同一直线上，面积比为 $1:2$ 。

因此解得 $120+2x=240-2x$ ，所以 $x=30$ 。 $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$

正确答案是 B。

Since $AD:DC=1:2,$ triangles $ABD$ and $DBC$ have areas in the ratio $1:2.$ Thus $[ABD]=120$ and $[DBC]=240.$

Because $E$ is the midpoint of $BD,$ triangles $ABE$ and $AED$ each have area $60.$ Let $x=[EBF].$ Then $[DEF]=x$ as well, since $BE=ED$ and both triangles have their third vertex on line $AF.$

Segment $DF$ splits $\triangle DBC,$ so $[DFC]=240-2x.$ Also, $\triangle ADF$ and $\triangle DFC$ have bases $AD$ and $DC$ on the same line, so their areas are in the ratio $1:2.$

Therefore $\dfrac{60+x}{240-2x}=\dfrac{1}{2}.$ Solving gives $120+2x=240-2x,$ so $x=30.$

Thus, the correct answer is B.

2019 AMC 8 第 24 题

答案：B

难度评级：1840

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