Question

在 $\triangle ABC$ 中，点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $AE=1$ 、 $EB=2$ 。点 $D$ 在 $\overline{AC}$ 上，使得 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ；点 $F$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\overline{EF} \parallel \overline{AC}$ 。 $CDEF$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

In $\triangle ABC,$ a point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=1$ and $EB=2.$ Point $D$ is on $\overline{AC}$ so that $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ and point $F$ is on $\overline{BC}$ so that $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ What is the ratio of the area of $CDEF$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

答案：A

知识点：相似面积比

难度评级：1340

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文字解答：

设 $\triangle ABC$ 的面积为 $t$ 。由于 $DE \parallel BC$ 且 $FE \parallel CA$ ，可得和因为 $AE = \dfrac{AB}3$ ，所以 $ADE$ 的面积为 $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9}$ 。因为 $EB = \dfrac{2AB}3$ ，所以 $EFB$ 的面积为 $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t$ 。最后，要找 $CDEF$ 的面积，就从 $ABC =t$ 中减去 $ADE$ 和 $EFB$ 的面积，即因此 $CDEF$ 与 $ABC$ 的面积比为 $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9}$ 。 $ADE \sim ABC$ $EFB \sim ABC.$ $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$

所以正确答案是 A。

Let the area of $\triangle ABC$ be equal to $t.$ Since $DE \parallel BC$ and $FE \parallel CA ,$ we can deduce that $ADE \sim ABC$ and $EFB \sim ABC.$ Since $AE = \dfrac{AB}3,$ the area of $ADE$ is equal to $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Since $EB = \dfrac{2AB}3,$ the area of $EFB$ is equal to $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finally, to find the area of $CDEF,$ we take the area of $ABC =t$ and subtract the areas of $ADE$ and $EFB.$ This is equivalent to the expression $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Therefore, the ratio of the area of $CDEF$ and $ABC$ is $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Thus, A is the correct answer.

2018 AMC 8 第 20 题

答案：A

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