Question

六个整数 $10$ 、 $11$ 、 $12$ 、 $13$ 、 $14$ 和 $15$ 被放入六个圆中：三角形的三个顶点各放一个，每条边的中点各放一个。要求三角形每条边上三个数的和 $S$ 都相同。 $S$ 的最大可能值是

The six whole numbers $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ and $15$ are placed in six circles — one at each of the three corners of a triangle and one at the midpoint of each side — so that the sum $S$ of the three numbers along each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

答案：D

知识点：幻方最优化

难度评级：1140

解答：

把三条边的和相加，得到 $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners})$ 。要使 $S$ 最大，应把三个最大的数 $13$ 、 $14$ 、 $15$ 放在顶点，此时顶点数之和为 $42$ 。

于是 $3S = 75 + 42 = 117$ ，所以 $S = 39$ 。这个值可以达到：顶点放 $13$ 、 $14$ 、 $15$ ，中点放 $12$ 、 $10$ 、 $11$ ，每条边的和都是 $39$ 。

所以正确答案是 D。

Adding the three side sums gives $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners}).$ To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving corner sum $42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: with corners $13,$ $14,$ $15$ and midpoints $12,$ $10,$ $11,$ each side sums to $39.$

Thus, the correct answer is D .

1985 AMC 8 第 24 题

答案：D

难度评级：1140

解答：

其他年份的第 24 题