1953 AMC 12 第 50 题

Question

一个三角形的一条边被内切圆的切点分成长为

6

和

8

个单位的两段。若内切圆半径为

4

，则三角形最短边的长度为：

One of the sides of a triangle is divided into segments of

6

and

8

units by the point of tangency of the inscribed circle. If the radius of the circle is

4,

then the length of the shortest side of the triangle is:

12

个单位

12

units

13

个单位

13

units

14

个单位

14

units

15

个单位

15

units

16

个单位

16

units

答案：B

知识点：incircle tangent lengths Heron formula triangle

难度评级：1950

小提示：

由同一点引出的切线段相等，所以三边可写成

14

、

6+z

和

8+z

，其中

z

为某个值

Equal tangent segments from a vertex make the three sides

14,

6+z,

and

8+z

for some

z

大提示：

同时使用

K=rs

和半周长为

s=14+z

时的海伦公式

Use both

K=rs

and Heron’s formula with semiperimeter

s=14+z

解答：

设从第三个顶点引出的两条切线段长均为

z

。由同一点引出的切线段相等，所以三边长为

14,\qquad 6+z,\qquad 8+z\text{，}

半周长为

s=14+z

。因为内切圆半径为

4

，

K=rs=4(14+z)\text{。}

由海伦公式，

\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z) \end{aligned}\text{。}

将两种面积表达式平方后相等，得到

16(14+z)=48z

，所以

z=7

。三边长为

14

、

13

和

15

，最短边长为

13

。

因此，正确答案是 B。

Let the two tangent segments from the third vertex each have length

z.

Equal tangents from a common vertex make the side lengths

14,\qquad 6+z,\qquad 8+z,

with semiperimeter

s=14+z.

Since the inradius is

4,

K=rs=4(14+z).

Heron’s formula gives

\begin{aligned} K^2 &=(14+z)z\cdot8\cdot6\\ &=48z(14+z). \end{aligned}

Equating the squares yields

16(14+z)=48z,

so

z=7.

The sides are

14,

13,

and

15,

and the shortest is

13.

Thus, the correct answer is B.

1953 AMC 12 第 50 题

答案：B

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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