Question

设 $ABCD$ 是一个矩形，且 $AB = 30$ 、 $BC = 28$ 。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $BC$ 和 $CD$ 上，使得 $\triangle ABP$ 、 $\triangle PCQ$ 和 $\triangle QDA$ 的所有边长都是整数。 $\triangle APQ$ 的周长是多少？

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB = 30$ and $BC = 28.$ Points $P$ and $Q$ lie on $BC$ and $CD$ respectively so that all sides of $\triangle ABP,$ $\triangle PCQ,$ and $\triangle QDA$ have integer lengths. What is the perimeter of $\triangle APQ?$

$84$

$86$

$88$

$90$

$92$

答案：A

知识点：勾股数矩形系统列举

难度评级：1840

解答：

令 $A = (0,0)$ 、 $B = (30,0)$ 、 $C = (30,28)$ 、 $D = (0,28)$ ，且 $P = (30, p)$ 在 $BC$ 上， $Q = (30 - q, 28)$ 在 $CD$ 上。三个直角三角形给出 $AP = \sqrt{30^2 + p^2}$ 、 $QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}$ 、 $PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}$ ，并且三者都必须是整数。当 $0 \leq p \leq 28$ 时，将等式写成 $(AP-p)(AP+p)=900$ ，可知只有 $p=0$ 和 $p=16$ 两种可能，对应 $AP=30$ 和 $AP=34$ 。同理，令 $x=30-q$ ，则 $(QA-x)(QA+x)=784$ ，且 $0 \leq x \leq 30$ ，所以 $x=0$ 或 $x=21$ 。将这四种组合代入 $PQ$ 的公式检验，只有 $p=16$ 、 $x=21$ 可行。因此 $q=9$ 、 $QA=35$ ，并且 $PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15$ 。所以 $\triangle APQ$ 的周长为 $34+15+35=84$ ，正确答案是 A。

Set $A = (0,0)$ , $B = (30,0)$ , $C = (30,28)$ , $D = (0,28)$ , with $P = (30, p)$ on $BC$ and $Q = (30 - q, 28)$ on $CD$ . The three right triangles give $AP = \sqrt{30^2 + p^2}$ , $QA = \sqrt{28^2 + (30 - q)^2}$ , and $PQ = \sqrt{(28 - p)^2 + q^2}$ . For $0 \leq p \leq 28$ , the equation $(AP-p)(AP+p)=900$ gives only $p=0$ and $p=16$ , with $AP=30$ and $AP=34$ . Similarly, setting $x=30-q$ , the equation $(QA-x)(QA+x)=784$ with $0 \leq x \leq 30$ gives $x=0$ or $x=21$ . Testing these four combinations in the formula for $PQ$ , only $p=16$ , $x=21$ works. Thus $q=9$ , $QA=35$ , and $PQ=\sqrt{12^2+9^2}=15$ . The perimeter of $\triangle APQ$ is $34+15+35=84$ . Thus, A is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 17 题

答案：A

难度评级：1840

解答：

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