2022 AMC 10A 第 17 题

Question

有多少个三位正整数

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

，其非零数字

a

、

b

、

c

满足

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})\text{？}

（横线表示数字循环，因此

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

表示无限循环小数

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

）

How many three-digit positive integers

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

are there whose nonzero digits

a,

b,

and

c

satisfy

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?

(The bar indicates digit repetition, thus

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

is the infinite repeating decimal

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

)

9

10

11

13

14

答案：D

知识点：循环小数数字丢番图方程

难度评级：1660

小提示：

把循环小数化成分数

Convert the repeating decimals into fractions

大提示：

把条件化为关于这三个数字的线性方程

Reduce the condition to a linear equation in the three digits

解答：

这些循环小数满足

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9 \end{aligned}\text{。}

代入后两边同乘

999

，得到

100a+10b+c=37(a+b+c)\text{，}

也就是

7a=3b+4c\text{。}

对每个

a\in\{1,2,\ldots,9\}

，在这个线性方程中逐一检验非零数字

b,c

，得到

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9) \end{gathered}\text{。}

因此这样的整数共有

13

个。

所以正确答案是 D。

The repeating decimals satisfy

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}

Substitution and multiplication by

999

give

100a+10b+c=37(a+b+c),

or

7a=3b+4c.

For each

a\in\{1,2,\ldots,9\},

checking the nonzero digits

b,c

in this linear equation gives

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}

Thus there are

13

integers.

Thus, D is the correct solution.

2022 AMC 10A 第 17 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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