答案：D

解答：

先将每个循环小数写成闭式。可以把 写成 $$\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}$$

这是一个无穷等比数列，首项为 ，公比为 。 用无穷等比数列求和公式，得到 类似地，注意 可写成 同样可得 因此 将这些值代入条件，得到 两边乘以 $999$ 得 $$100a+10b+c=37(a+b+c),$$ $$7a=3b+4c.$$

注意 $a\in\{1,2,\ldots,9\}$ 可写成 $b,c$ 代入后有 化简为 所有满足 的解都可行。如果把 增加 、把 减少 ，表达式 保持不变；也可以把 减少 、把 增加 。 把这个原则用于前 个三元组，还会得到 这 个解。因此总共有 $13$ 个解。 $$\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}$$

所以正确答案是 D。