Question

一位建筑师正在建造一个结构，要在水平地面上的正六边形 $ABCDEF$ 的各顶点竖立柱子。六根柱子将支撑一块不与地面平行的平面太阳能板。位于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的柱高分别为 $12$ , $9$ , $10$ 米。位于 $E$ 的柱子高度是多少米？

An architect is building a structure that will place vertical pillars at the vertices of regular hexagon $ABCDEF,$ which is lying horizontally on the ground. The six pillars will hold up a flat solar panel that will not be parallel to the ground. The heights of pillars at $A,$ $B,$ and $C$ are $12,$ $9,$ and $10$ meters, respectively. What is the height, in meters, of the pillar at $E?$

$9$

$6\sqrt{3}$

$8\sqrt{3}$

$17$

$12\sqrt{3}$

答案：D

知识点：坐标几何正多边形方程组

难度评级：1660

解答：

取正六边形坐标 $A=(-1,0)$ 、 $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ 、 $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ 、 $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2})$ 。因为太阳能板是平面，高度可写成 $h(x,y)=ux+vy+w$ 。

由 $h(A)=12$ ， $h(B)=9$ ， $h(C)=10$ 。后两式相减得 $u=1$ 。再由 $-u+w=12$ 得 $w=13$ 。代入 $h(B)=9$ ，有 $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9$ ，所以 $\sqrt3v=-7$ 。

因此 $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Put a regular hexagon in coordinates with $A=(-1,0),$ $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ $C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),$ and $E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}).$ Because the solar panel is flat, the height is an affine function $h(x,y)=ux+vy+w.$

From $h(A)=12,$ $h(B)=9,$ and $h(C)=10,$ subtracting the last two equations gives $u=1.$ Then $-u+w=12,$ so $w=13.$ Using $h(B)=9$ gives $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9,$ so $\sqrt3v=-7.$

Therefore $\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 17 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

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