2021 AMC 10A Spring 第 17 题

Question

梯形

ABCD

满足

\overline{AB}\parallel\overline{CD}

，

BC=CD=43

，且

\overline{AD}\perp\overline{BD}

。设

O

为对角线

\overline{AC}

与

\overline{BD}

的交点，

P

为

\overline{BD}

的中点。

已知

OP=11

，线段

AD

的长度可写成

m\sqrt{n}

，其中

m

和

n

为正整数，且

n

不被任何质数的平方整除。

m+n

是多少？

Trapezoid

ABCD

has

\overline{AB}\parallel\overline{CD},

BC=CD=43,

and

\overline{AD}\perp\overline{BD}.

Let

O

be the intersection of the diagonals

\overline{AC}

and

\overline{BD},

and let

P

be the midpoint of

\overline{BD}.

Given that

OP=11,

the length of

AD

can be written in the form

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. What is

m+n?

65

132

157

194

215

答案：D

知识点：梯形相似勾股定理

难度评级：1950

小提示：

利用等腰三角形，得到一个与

BD

的中点有关的直角三角形。

Use the isosceles triangle to get a right triangle involving the midpoint of

BD

大提示：

交点

O

按平行底边的比来分割对角线。

The intersection point

O

splits the diagonals in the ratio of the parallel bases

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

因为

BC=CD

，从

C

到

BD

的中线垂直于

BD

，所以

\triangle BPC

是直角三角形。设

\angle DBC=\alpha

。又因

AB\parallel CD

，有

\angle ABD=\alpha

，因此

\triangle BPC\sim\triangle BDA

。

由于

P

是

BD

的中点，

\frac{BD}{BP}=2

。在相似关系中，

BC

对应

AB

，所以

\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86 \end{aligned}\text{。}

另外，

\triangle ABO\sim\triangle CDO

，所以

\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2\text{。}

设

BP=PD=t

。由于

OP=11

，且

P

是

BD

的中点，得到

BO=t+11

、

OD=t-11

，所以

\frac{t+11}{t-11}=2\text{。}

解得

t=33

，故

BD=66

。最后，

\triangle ABD

是直角三角形，所以

\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190} \end{aligned}\text{。}

因此

m+n=4+190=194

。

所以正确答案是 D。

Because

BC=CD,

the median from

C

to

BD

is perpendicular to

BD.

Thus

\triangle BPC

is a right triangle. Let

\angle DBC=\alpha.

Since

AB\parallel CD,

we also have

\angle ABD=\alpha,

so

\triangle BPC\sim\triangle BDA.

Since

P

is the midpoint of

BD,

we have

\frac{BD}{BP}=2.

In the similarity,

BC

corresponds to

AB,

so

\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}

Also,

\triangle ABO\sim\triangle CDO,

so

\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.

Since

OP=11

and

P

is the midpoint of

BD,

write

BP=PD=t.

Then

BO=t+11

and

OD=t-11,

so

\frac{t+11}{t-11}=2.

This gives

t=33,

hence

BD=66.

Finally,

\triangle ABD

is right, so

\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}

Thus

m+n=4+190=194.

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 17 题

答案：D

难度评级：1950

小提示：

大提示：

视频讲解：

文字解答：

其他年份的第 17 题