2020 AMC 10A 第 17 题

Question

定义

\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2) \end{aligned}\text{。}

有多少个整数

n

满足

P(n)\leq 0

？

Define

\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}

How many integers

n

are there such that

P(n)\leq 0?

4900

4950

5000

5050

5100

答案：E

知识点：多项式不等式区间内整数计数

难度评级：1660

小提示：

在根

1^2,2^2,\ldots,100^2

之间画符号表。

Make a sign chart across the square roots

1^2,2^2,\ldots,100^2

大提示：

每隔一个区间计数，并包含端点。

Count integer points in every other interval, including endpoints

视频讲解：

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文字解答：

多项式在每个平方数

1^2,2^2,\ldots,100^2

处变号，且首项系数为正。因此满足

P(n)\le0

的整数落在区间

[1^2,2^2]

、

[3^2,4^2]

、

\ldots

、

[99^2,100^2]

中。

对奇数

k

，区间

[k^2,(k+1)^2]

中的整数个数为

(k+1)^2-k^2+1=2k+2

。对

k=1,3,\ldots,99

求和，得到

2(1+3+\cdots+99)

+2\cdot50=5000+100

=5100

。正确答案是 E。

The polynomial changes sign at each square

1^2,2^2,\ldots,100^2

, and its leading coefficient is positive. Thus

P(n)\le0

for integers in the intervals

[1^2,2^2]

,

[3^2,4^2]

,

\ldots

,

[99^2,100^2]

.

For odd

k

, the interval

[k^2,(k+1)^2]

contains

(k+1)^2-k^2+1=2k+2

integers. Summing over odd

k=1,3,\ldots,99

gives

2(1+3+\cdots+99)

+2\cdot50=5000+100

=5100

. Thus, E is the correct answer.