Question

定义有多少个整数 $n$ 满足 $P(n)\leq 0$ ？ $\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}$

Define $\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}$ How many integers $n$ are there such that $P(n)\leq 0?$

$4900$

$4950$

$5000$

$5050$

$5100$

答案：E

知识点：多项式不等式区间内整数计数

难度评级：1660

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文字解答：

多项式在每个平方数 $1^2,2^2,\ldots,100^2$ 处变号，且首项系数为正。因此满足 $P(n)\le0$ 的整数落在区间 $[1^2,2^2]$ 、 $[3^2,4^2]$ 、 $\ldots$ 、 $[99^2,100^2]$ 中。

对奇数 $k$ ，区间 $[k^2,(k+1)^2]$ 中的整数个数为 $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ 。对 $k=1,3,\ldots,99$ 求和，得到 $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ 。正确答案是 E。

The polynomial changes sign at each square $1^2,2^2,\ldots,100^2$ , and its leading coefficient is positive. Thus $P(n)\le0$ for integers in the intervals $[1^2,2^2]$ , $[3^2,4^2]$ , $\ldots$ , $[99^2,100^2]$ .

For odd $k$ , the interval $[k^2,(k+1)^2]$ contains $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ integers. Summing over odd $k=1,3,\ldots,99$ gives $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ . Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 17 题

答案：E

难度评级：1660

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其他年份的第 17 题