2013 AMC 10A 第 17 题

Question

Daphne 的三位好友 Alice、Beatrix 和 Claire 会定期来拜访她。Alice 每三天来一次，Beatrix 每四天来一次，Claire 每五天来一次。

昨天三人都拜访了 Daphne。接下来

365

天中，恰好有两位好友来访的天数是多少？

Daphne is visited periodically by her three best friends: Alice, Beatrix, and Claire. Alice visits every third day, Beatrix visits every fourth day, and Claire visits every fifth day.

All three friends visited Daphne yesterday. How many days of the next

365

-day period will exactly two friends visit her?

48

54

60

66

72

答案：B

知识点：最小公倍数容斥原理区间内整数计数

难度评级：1420

小提示：

用最小公倍数数每一对同时来访的天数。

Count pairwise meeting days using least common multiples

大提示：

从每一对的计数中减去三人都来的天数。

Subtract the triple-meeting days from each pair count

解答：

两两同时来访的周期分别为

\operatorname{lcm}(3,4)=12

、

\operatorname{lcm}(3,5)=15

、

\operatorname{lcm}(4,5)=20

天。

在接下来

365

天中，这三种两两同时来访的天数分别为

\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30

、

\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24

、

\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18

。

三人都来访的周期为

60

天，共

\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6

天。恰好两人来访的天数为

(30-6)+(24-6)

+(18-6)=54

。

所以正确答案是 B。

Pairwise visits occur every

\operatorname{lcm}(3,4)=12

,

\operatorname{lcm}(3,5)=15

, and

\operatorname{lcm}(4,5)=20

days.

In the next

365

days, these pair counts are

\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30

,

\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24

, and

\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18

.

All three visit every

60

days, which happens

\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6

times. Subtracting those days from each pair count gives

(30-6)+(24-6)

+(18-6)=54

.

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 17 题

答案：B

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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