2009 AMC 10A 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

长方形

ABCD

中，

AB = 4

，

BC = 3

。过

B

作线段

EF

，使得

EF \perp DB

，并且

A

和

C

分别在

DE

和

DF

上。

EF

是多少？

Rectangle

ABCD

has

AB = 4

and

BC = 3.

Segment

EF

is constructed through

B

so that

EF \perp DB,

and

A

and

C

lie on

DE

and

DF,

respectively. What is

EF?

9

10

\dfrac{125}{12}

\dfrac{103}{9}

12

答案：C

知识点：相似直角三角形勾股定理

难度评级：1580

小提示：

先求

DB = \sqrt{4^2 + 3^2}

。

First find

DB = \sqrt{4^2 + 3^2}

大提示：

三角形

EBA

和

BFC

都与

\triangle DBA

相似，所以可用比例求

EB

和

BF

。

Triangles

EBA

and

BFC

are each similar to

\triangle DBA,

so find

EB

and

BF

from ratios

解答：

对角线

DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5

。

直角三角形

EBA

、

DBC

和

BFC

都与

\triangle DBA

相似。由

\triangle EBA

，

\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3} \end{aligned}\text{。}

由

\triangle BFC

，

\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4} \end{aligned}\text{。}

因此

\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

The diagonal is

DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

Right triangles

EBA,

DBC,

and

BFC

are all similar to

\triangle DBA.

From

\triangle EBA,

\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}

From

\triangle BFC,

\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.