2007 AMC 10B 第 17 题

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17.

点

P

在等边三角形

\triangle ABC

内部。点

Q

，

R

和

S

分别是从

P

到

\overline{AB}

、

\overline{BC}

和

\overline{CA}

的垂足。已知

PQ = 1

、

PR = 2

、

PS = 3

，

AB

是多少？

Point

P

is inside equilateral

\triangle ABC.

Points

Q,

R,

and

S

are the feet of the perpendiculars from

P

to

\overline{AB},

\overline{BC},

and

\overline{CA},

respectively. Given that

PQ = 1,

PR = 2,

and

PS = 3,

what is

AB?

4

3\sqrt3

6

4\sqrt3

9

答案：D

知识点：等边三角形面积分割三角形面积

难度评级：1640

小提示：

连接

P

与三个顶点，将

\triangle ABC

分成三个较小三角形。

Connect

P

to the three vertices to split

\triangle ABC

into three smaller triangles

大提示：

它们的面积为

\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}

；令和等于

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

。

Their areas are

\dfrac{s}{2},s,\dfrac{3s}{2}

; set the sum equal to

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

解答：

设边长为

s

。从

P

作出的垂线是三角形

APB

、

BPC

、

CPA

的高，所以它们的面积分别为

\dfrac{s}{2}

、

s

、

\dfrac{3s}{2}

。

面积和等于

\triangle ABC

的面积

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

，因此

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2

。

正解为

s=4\sqrt3

。

所以正确答案是 D。

Let the side length be

s.

The perpendiculars from

P

are the heights of triangles

APB,

BPC,

and

CPA,

so their areas are

\dfrac{s}{2},

s,

and

\dfrac{3s}{2}.

Their sum equals the area of

\triangle ABC,

which is also

\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.

Hence

3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2.

The positive solution is

s=4\sqrt3.

Thus, the correct answer is D.