Question

正八边形 $ABCDEFGH$ 的边长为二。 $\triangle ADG$ 的面积是多少？

A regular octagon $ABCDEFGH$ has sides of length two. What is the area of $\triangle ADG?$

$4 + 2\sqrt{2}$

$6 + \sqrt{2}$

$4 + 3\sqrt{2}$

$3 + 4\sqrt{2}$

$8 + \sqrt{2}$

答案：C

知识点：正多边形坐标几何三角形面积

难度评级：1660

解答：

将八边形放在坐标轴上，使水平边和竖直边的长度为 $2$ ，每条斜边的水平位移为 $\sqrt2$ ，竖直位移也为 $\sqrt2$ 。 $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

因为 $D$ 和 $G$ 高度同为 $2 + \sqrt2$ ，所以 $DG$ 水平，长度为 $2 + 2\sqrt2$ ，从 $A$ 到这条水平线的高为 $2 + \sqrt2$ 。

因此 $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Set the octagon on coordinate axes with the axis-aligned sides of length $2$ and each slanted side spanning $\sqrt2$ horizontally and $\sqrt2$ vertically. Then $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

Since $D$ and $G$ share the height $2 + \sqrt2,$ segment $DG$ is horizontal with length $2 + 2\sqrt2,$ and the height from $A$ up to that level is $2 + \sqrt2.$

Therefore $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10B 第 17 题

答案：C

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 17 题