2007 AIME I Problem 3

Attempt Problem 3 of the 2007 AIME I below, then check your answer against the professionally curated solution from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2007 AIME I solutions, or check the answer key.

All problems are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

The complex number $z$ is equal to $9 + bi,$ where $b$ is a positive real number and $i^2 = -1.$ Given that the imaginary parts of $z^2$ and $z^3$ are equal, find $b.$

Answer

Answer: 15

Concepts:complex number binomial theorem

Difficulty rating: 1970

Solution:

By the binomial theorem, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ and $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Setting the imaginary parts equal gives $18b = 243b - b^3.$

Since $b$ is positive we may divide by $b,$ leaving $b^2 = 243 - 18 = 225,$ so $b = 15.$

← Problem 2#2

Full Exam

Problem 4#4 →

Problem 3 in Other Years

1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II