Question

在列表 $3, 3, 8, 11, 28$ 中插入两个整数，使其极差变为原来的两倍。众数和中位数保持不变。这两个新增数字的和最大可能是多少？

Two integers are inserted into the list $3, 3, 8, 11, 28$ to double its range. The mode and median remain unchanged. What is the maximum possible sum of the two additional numbers?

$56$

$57$

$58$

$60$

$61$

答案：D

知识点：极差中位数（数据）众数最优化

难度评级：1600

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文字解答：

原来的极差是 $28-3=25,$ 所以新极差必须是 $50.$ 要保持中位数为 $8,$ 新增的一个数 $x$ 必须小于 $8$ ，另一个数 $y,$ 必须大于 $8.$

若 $x\ge3,$ 最小值仍为 $3,$ 所以新的最大值必须是 $53.$ 取 $x=3$ 会改变众数，因此 $x\le7.$ 所以 $x+y\le7+53=60.$

若 $x<3$ 且 $y>28,$ 则 $y-x=50,$ 所以 $x+y=2x+50\le54.$ 若 $y\le28,$ 最大值仍为 $28,$ 这会迫使 $x=-22$ ，得到的和更小。因此没有任何情况能超过 $60.$

取 $x=7$ 和 $y=53$ 时，众数和中位数都不变，极差为 $50,$ 所以最大和是 $60.$

所以正确答案是 D。

The original range is $28-3=25,$ so the new range must be $50.$ To keep the median $8,$ one added number $x$ must be less than $8$ and the other, $y,$ must be greater than $8.$

If $x\ge3,$ the minimum remains $3,$ so the new maximum must be $53.$ The value $x=3$ would change the mode, so $x\le7.$ Hence $x+y\le7+53=60.$

If $x<3$ and $y>28,$ then $y-x=50,$ so $x+y=2x+50\le54.$ If $y\le28,$ the maximum remains $28,$ forcing $x=-22$ and giving an even smaller sum. Therefore no case exceeds $60.$

The values $x=7$ and $y=53$ preserve the mode and median and give range $50,$ so the maximum sum is $60.$

Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 8 第 20 题

答案：D

难度评级：1600

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