Question

一个半圆内切于一个底为 $16$ 、高为 $15$ 的等腰三角形中，半圆的直径位于三角形的底边上，如图所示。半圆的半径是多少？

A semicircle is inscribed in an isosceles triangle with base $16$ and height $15$ so that the diameter of the semicircle is contained in the base of the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$4 \sqrt{3}$

$\dfrac{120}{17}$

$10$

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

答案：B

知识点：三角形面积勾股定理

难度评级：1610

视频讲解：

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文字解答：

设 $O$ 是圆心，也就是 $\overline{AB}$ 的中点。

由勾股定理可得 $BC = 17$ 。

另一方面， $OE$ 的面积为又因为半径垂直于切点处的边，且 $BC$ ，从而 $\dfrac12\cdot OE\cdot17$ 。 $[\triangle BOC]=\dfrac12\cdot8\cdot15=60.$ $OE=\dfrac{120}{17}.$

所以正确答案是 B。

Let $O$ be the center of the circle, which is the midpoint of $\overline{AB}.$

We then get that $BC = 17$ via the Pythagorean theorem.

The right half of the isosceles triangle has area $[\triangle BOC]=\dfrac12\cdot8\cdot15=60.$ The radius $OE$ is perpendicular to the tangent side $BC$ , so the same area is $\dfrac12\cdot OE\cdot17.$ Hence $OE=\dfrac{120}{17}.$

Thus, B is the correct answer.

2016 AMC 8 第 25 题

答案：B

难度评级：1610

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其他年份的第 25 题