2015 AMC 8 第 19 题

Question

顶点为

A=(1,3)

、

B=(5,1)

、

C=(4,4)

的三角形画在一个

6\times5

网格上。这个三角形覆盖了网格的几分之几？

A triangle with vertices at

A=(1,3),

B=(5,1),

and

C=(4,4)

is plotted on a

6\times5

grid. What fraction of the grid is covered by the triangle?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：A

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1320

小提示：

将三角形放入一个与网格对齐的小长方形中

Put the triangle inside a small rectangle aligned to the grid.

大提示：

从长方形面积中减去三个角上的直角三角形

Subtract the three corner right triangles from the rectangle.

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

整个网格的面积是

6\cdot5=30

。要求三角形面积，可把它放在下图所示的宽为

4

、高为

3

的长方形中。

长方形的面积为

4\cdot3=12

。三个角上三角形的面积分别为

\dfrac12(4)(2)=4

、

\dfrac12(1)(3)=\dfrac32

和

\dfrac12(3)(1)=\dfrac32

。因此

\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5 \end{aligned}\text{。}

因此覆盖比例为

\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}

。

所以正确答案是 A。

The total area of the grid is

6\cdot5=30.

To find the area of the triangle, place it inside the

4

-by-

3

rectangle shown below.

The rectangle has area

4\cdot3=12.

The three corner triangles have areas

\dfrac12(4)(2)=4,

\dfrac12(1)(3)=\dfrac32,

and

\dfrac12(3)(1)=\dfrac32.

Therefore,

\begin{aligned} [\triangle ABC] &= 12-4-\dfrac32-\dfrac32\\ &=5. \end{aligned}

Therefore, the fraction of the area is

\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6} .

Thus, the correct answer is A .