Question

如果一个数的各位数字在两个不同数字之间交替出现，就称它为交替数。例如， $2020$ 和 $37373$ 是交替数，但 $3883$ 和 $123123$ 不是。有多少个五位交替数能被 $15$ 整除？

A number is called flippy if its digits alternate between two distinct digits. For example, $2020$ and $37373$ are flippy, but $3883$ and $123123$ are not. How many five-digit flippy numbers are divisible by $15?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

答案：B

知识点：整除性数字

难度评级：1270

小提示：

五位交替数形如 $ABABA$

A five-digit flippy number has form $ABABA$

大提示：

能被 $5$ 整除会迫使 $A=5$

Divisibility by $5$ forces $A=5$

视频讲解：

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文字解答：

一个五位交替数形如 $ABABA$ ，其中 $A\ne0$ 且 $A\ne B$ 。能被 $5$ 整除要求末位 $A$ 为 $0$ 或 $5$ 。因为 $A\ne0$ ，所以必须有 $A=5$ 。

因此这个数形如 $5B5B5$ 。它的各位数字之和为 $15+2B$ ，所以能被 $3$ 整除要求 $B$ 是 $3$ 的倍数。可能值为 $B=0$ 、 $B=3$ 、 $B=6$ 、 $B=9$ ，共得到 $4$ 个数。

所以正确答案是 B。

A five-digit flippy number has the form $ABABA,$ where $A\ne0$ and $A\ne B.$ Divisibility by $5$ requires the last digit $A$ to be $0$ or $5.$ Since $A\ne0,$ we must have $A=5.$

The number therefore has the form $5B5B5.$ Its digit sum is $15+2B,$ so divisibility by $3$ requires $B$ to be a multiple of $3.$ The possibilities are $B=0,$ $B=3,$ $B=6,$ and $B=9,$ giving $4$ numbers.

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 8 第 19 题