Question

$13^{2012}$ 的个位数字是什么？

What is the units digit of $13^{2012}?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

只需要考虑底数的个位数字。

Only the units digit of the base matters.

$3$ 的幂的个位数字循环长度为 $4$ 。

Powers of $3$ have a units-digit cycle of length $4$ .

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要求个位数字，只需计算 $13^{2012} \mod 10$ 。

$\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}$

这说明 $13^{2012}$ 的个位数字与 $1$ 相同，所以 $13^{2012}$ 的个位数字是 $1$ 。

所以正确答案是 A。

We have to find $13^{2012} \mod 10.$ The following is true:

$\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}$

This means $13^{2012}$ has the same units digit as $1,$ so the units digit of $13^{2012}$ is $1.$

Thus, the answer is A .