Question

一对 $8$ 面骰子的面分别标有 $1$ 到 $8$ 。每一面朝上的概率相同。两个朝上数字的乘积大于 $36$ 的概率是

A pair of $8$ -sided dice have sides numbered $1$ through $8.$ Each side has the same probability (chance) of landing face up. The probability that the product of the two numbers that land face-up exceeds $36$ is

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{11}{64}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：A

知识点：骰子（概率）分类讨论

难度评级：1450

解答：

按第一颗骰子的点数分类。如果点数为 $1 - 4$ ，乘积不可能大于 $36$ 。

如果点数是 $5$ ，另一颗必须掷出 $8$ ，否则乘积小于 $36$ 。

如果第一颗是 $6$ ，另一颗必须是 $7$ 或 $8$ ，有 $2$ 种可能。如果第一颗是 $7$ ，另一颗必须是 $6$ 、 $7$ 或 $8$ ，有 $3$ 种可能。

最后，如果第一颗掷出 $8$ ，另一颗可以是 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 或 $8$ ，又有 $4$ 种可能。

有利结果共有种，总结果数是 $8^2 = 64$ ，所以概率为 $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

所以正确答案是 A。

We can case on the value of the first die. If its value is $1 - 4,$ then it is impossible for the product to be greater than $36.$

If it is a $5,$ then the other die has to roll an $8,$ otherwise the product is less than $36.$

If the first die is a $6,$ then the other die must be $7$ or $8,$ giving $2$ possibilities. If the first die is a $7,$ then the other die must be $6,$ $7,$ or $8,$ giving $3$ possibilities.

Finally, if the first roll is an $8,$ the other die can be $5,$ $6,$ $7,$ or $8,$ giving $4$ more possibilities.

The total number of working pairs is $1 + 2 + 3 + 4 = 10,$ and the total number of pairs is $8^2 = 64.$ The desired probability is then $\dfrac{10}{64} = \dfrac{5}{32}.$

Thus, A is the correct answer.

1997 AMC 8 第 20 题

答案：A

难度评级：1450

解答：

其他年份的第 20 题