Question

方程 $Ax^2+Bx+C=0$ 的两根为 $r$ 和 $s$ 。若方程

$x^2+px+q=0$

的两根为 $r^2$ 和 $s^2$ ，则 $p$ 必须等于：

The roots of $Ax^2+Bx+C=0$ are $r$ and $s.$ For the roots of

$x^2+px+q=0$

to be $r^2$ and $s^2,$ $p$ must equal:

$\dfrac{B^2-4AC}{A^2}$

$\dfrac{B^2-2AC}{A^2}$

$\dfrac{2AC-B^2}{A^2}$

$B^2-2C$

$2C-B^2$

答案：C

知识点：韦达定理二次方程对称性（代数）

难度评级：1590

小提示：

对新的首一二次方程， $p$ 是两根之和 $r^2+s^2$ 的相反数

For the new monic quadratic, $p$ is the negative of the sum $r^2+s^2$

大提示：

写出 $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ ，并对原二次方程使用韦达定理

Write $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ and use Vieta’s formulas for the original quadratic

解答：

对原二次方程， $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2} \end{aligned}\text{。}$ 系数 $p$ 是这个和的相反数，所以 $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}\text{。}$

所以正确答案为 C。

For the original quadratic, $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.$ Hence $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}$ The coefficient $p$ is the negative of this sum, so $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1958 AMC 12 第 41 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 41 题