2017 AMC 10A 第 17 题

Question

不同点

P

、

Q

、

R

、

S

都在圆

x^{2}+y^{2}=25

上，并且坐标都是整数。距离

PQ

和

RS

都是无理数。

比值

\dfrac{PQ}{RS}

的最大可能值是多少？

Distinct points

P,

Q,

R,

S

lie on the circle

x^{2}+y^{2}=25

and have integer coordinates. The distances

PQ

and

RS

are irrational numbers.

What is the greatest possible value of the ratio

\dfrac{PQ}{RS}?

3

5

3\sqrt{5}

7

5\sqrt{2}

答案：D

知识点：格点圆距离公式最优化

难度评级：1790

小提示：

列出圆上的所有整点。

List the lattice points on the circle

大提示：

让一个无理距离尽可能大，另一个无理距离尽可能小。

Maximize one irrational distance and minimize another irrational distance

解答：

圆

x^2+y^2=25

上的整点为

(\pm5,0)

、

(0,\pm5)

、

(\pm3,\pm4)

、

(\pm4,\pm3)

。

要使

PQ

和

RS

为无理数，距离平方不能是完全平方数。要最大化比值，就在这个条件下让

PQ

尽可能大、

RS

尽可能小。

最大的可能无理距离可由

(-4,3)

与

(3,-4)

给出，此时

PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}

。最小的可能无理距离可由

(3,4)

与

(4,3)

给出，此时

RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

。

因此最大比值为

\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7

。所以正确答案是 D。

The integer-coordinate points on

x^2+y^2=25

are

(\pm5,0)

,

(0,\pm5)

,

(\pm3,\pm4)

, and

(\pm4,\pm3)

.

For

PQ

and

RS

to be irrational, the squared distance must not be a perfect square. To maximize the ratio, make

PQ

as large as possible and

RS

as small as possible under that condition.

The largest possible irrational distance is between

(-4,3)

and

(3,-4)

, giving

PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}

. The smallest possible irrational distance is between

(3,4)

and

(4,3)

, giving

RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

.

The greatest possible ratio is

\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7

. Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 17 题

答案：D

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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