Question

不同点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 都在圆 $x^{2}+y^{2}=25$ 上，并且坐标都是整数。距离 $PQ$ 和 $RS$ 都是无理数。

比值 $\dfrac{PQ}{RS}$ 的最大可能值是多少？

Distinct points $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ lie on the circle $x^{2}+y^{2}=25$ and have integer coordinates. The distances $PQ$ and $RS$ are irrational numbers.

What is the greatest possible value of the ratio $\dfrac{PQ}{RS}?$

$3$

$5$

$3\sqrt{5}$

$7$

$5\sqrt{2}$

答案：D

知识点：格点圆距离公式最优化

难度评级：1790

解答：

圆 $x^2+y^2=25$ 上的整点为 $(\pm5,0)$ 、 $(0,\pm5)$ 、 $(\pm3,\pm4)$ 、 $(\pm4,\pm3)$ 。

要使 $PQ$ 和 $RS$ 为无理数，距离平方不能是完全平方数。要最大化比值，就在这个条件下让 $PQ$ 尽可能大、 $RS$ 尽可能小。

最大的可能无理距离可由 $(-4,3)$ 与 $(3,-4)$ 给出，此时 $PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}$ 。最小的可能无理距离可由 $(3,4)$ 与 $(4,3)$ 给出，此时 $RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ 。

因此最大比值为 $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7$ 。所以正确答案是 D。

The integer-coordinate points on $x^2+y^2=25$ are $(\pm5,0)$ , $(0,\pm5)$ , $(\pm3,\pm4)$ , and $(\pm4,\pm3)$ .

For $PQ$ and $RS$ to be irrational, the squared distance must not be a perfect square. To maximize the ratio, make $PQ$ as large as possible and $RS$ as small as possible under that condition.

The largest possible irrational distance is between $(-4,3)$ and $(3,-4)$ , giving $PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}$ . The smallest possible irrational distance is between $(3,4)$ and $(4,3)$ , giving $RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .

The greatest possible ratio is $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7$ . Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 17 题

答案：D

难度评级：1790

解答：

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