Two geometric sequences a_1, a_2, a_3, … and b_1, b_2, b_3, … have the same common ratio, with a_1 = 27, b_1 = 99, and a_15 = b_11. Find a_9.

2012 AIME II Problem 2 — Solution

2012 AIME II Problem 2

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Two geometric sequences $a_1, a_2, a_3, \ldots$ and $b_1, b_2, b_3, \ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

Answer

Answer: 363

Concepts:geometric sequence algebraic manipulation

Difficulty rating: 1750

Solution:

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

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