2014 AIME I Problem 2

Below is the professionally curated solution for Problem 2 of the 2014 AIME I, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2014 AIME I solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:basic probability independent events linear equation

Difficulty rating: 1750

An urn contains $4$ green balls and $6$ blue balls. A second urn contains $16$ green balls and $N$ blue balls. A single ball is drawn at random from each urn. The probability that both balls are of the same color is $0.58.$ Find $N.$

Answer

Solution:

Both balls are green with probability $\frac{4}{10} \cdot \frac{16}{16+N},$ and both are blue with probability $\frac{6}{10} \cdot \frac{N}{16+N}.$ The condition is $\frac{64 + 6N}{10(16 + N)} = \frac{29}{50}.$

Clearing denominators, $5(64 + 6N) = 29(16 + N),$ so $320 + 30N = 464 + 29N,$ giving $N = 144.$

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