Two geometric sequences a_1, a_2, a_3, … and b_1, b_2, b_3, … have the same common ratio, with a_1 = 27, b_1 = 99, and a_15 = b_11. Find a_9.

2012 AIME II Problem 2 — Solution

2012 AIME II Problem 2

Below is the professionally curated solution for Problem 2 of the 2012 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2012 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:geometric sequence algebraic manipulation

Difficulty rating: 1750

Two geometric sequences $a_1, a_2, a_3, \ldots$ and $b_1, b_2, b_3, \ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

Answer

Solution:

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $a_9 = 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363.$

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